![\"\"](\"https:\/\/das-spielen.de\/wordpress\/wp-content\/uploads\/3v3instrumente.jpg\")
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Wir spielen Hitster ausschlie\u00dflich kooperativ. Ein Lied wird gescannt. Ein Lied wird diskutiert. Ein Lied wird einsortiert. Erinnerungen werden ausgetauscht und ein weiteres Lied wird ins Rennen geschickt. Unser bisheriger Rekord ist, wenn ich mich recht entsinne, so um die 60 richtig sortierten Hits. Das war aber eine extreme Ausnahme in einer gro\u00dfen generationen\u00fcbergreifenden, musikaffinen Gruppe. Typischerweise liegen gute Ergebnisse zwischen 20 und 30, wie zum Beispiel hier:<\/p>\n\n\n\n K\u00fcrzlich \u2013 um ehrlich zu sein, schon vor einiger Zeit \u2013 wunderte ich mich w\u00e4hrend einer Hitster Session, ob es eine praktische Grenze f\u00fcr Highscore gibt. Das Problem sah zun\u00e4chst einfach aus: Wenn immer mehr Lieder ausliegen, gibt es kaum noch gr\u00f6\u00dfere L\u00fccken. Also f\u00fchren auch kleine Fehler zum Verlust eines Chips. Es gilt also, \u201enur\u201c die Entwicklung der Jahresverteilung zu studieren. <\/p>\n\n\n\n Viele Wochen, viele beschmierte Notizbl\u00e4tter und einige Python-Scripts sp\u00e4ter kam ich endlich zu einem, zumindest f\u00fcr mich, plausibel klingendem Ergebnis. Das Sch\u00f6ne an ihm ist, dass er auch einfach klingt und ich deshalb die komplizierten Details weglassen kann. Das zugrundeliegende Modell ist rudiment\u00e4r und ich mache mehr als eine haarstr\u00e4ubende Annahme. F\u00fcr grobe Absch\u00e4tzungen sollte das Ergebnis aber gut genug sein.<\/p>\n\n\n\n Ernsthafte Turnierspielende knacken Hitster nat\u00fcrlich mit einer Brute-Force Strategie: Einfach die Muster aller QR-Codes und deren zugeh\u00f6rigen Jahreszahlen auswendig lernen und schon l\u00e4sst es sich ewig hitstern.<\/p>\n\n\n\n Wer darauf keine Lust hat, k\u00f6nnte versuchen, einfach blind Tipps zu geben. Das funktioniert jedoch unerwartet schlecht. Nehmen wir an, es liegen schon einige wenige Jahreskarten aus. Dann entspricht die Wahrscheinlichkeit, einen Hit zuf\u00e4llig richtig zuzuordnen, grob der Gr\u00f6\u00dfe seiner zugeh\u00f6rigen L\u00fccke zwischen dem n\u00e4chsten j\u00fcngeren und vorherigen \u00e4lter ausliegendem Hit:<\/p>\n\n\n\n P(auf L\u00fccke wird getippt) = L\u00fcckenbreite\/Anzahl in Hitster enthaltenen Jahre<\/p>\n\n\n\n Hier braucht es eine erste Annahme \u00fcber Hitster: Die meisten enthaltenen Hits liegen zwischen 1960 und 2020, also in einem 60-Jahres-Intervall. Innerhalb dieser 60 Jahre gehe ich von einer Gleichverteilung der Hits aus, sonst wird die Situation sehr un\u00fcbersichtlich. Ich verfolgte einige Zeit die Annahme, dass die Intervallbreite der konkreten Ausgabe einen bedeutenden Einfluss auf die Ratestatistik hat. In den j\u00fcngsten \u00dcberlegungen f\u00e4llt sie aber nicht mehr sonderlich ins Gewicht.<\/p>\n\n\n\n In welcher L\u00fccke ein Hit liegt, ist zun\u00e4chst zuf\u00e4llig. Aus der Gleichverteilungsannahme folgt, dass die Wahrscheinlichkeit wieder proportional zur L\u00fcckenbreite ist:<\/p>\n\n\n\n P(Hit liegt in L\u00fccke) = L\u00fcckenbreite\/Anzahl in Hitster enthaltenen Jahre.<\/p>\n\n\n\n Die beiden Wahrscheinlichkeiten, dass ein Hit in einer L\u00fccke liegt, sowie die, dass blind auf eine L\u00fccke geraten wird, sind also gleich. <\/p>\n\n\n\n Damit das Gl\u00fccksraten erfolgreich ist, muss sowohl der Hit als auch der Tipp die gleiche L\u00fccke haben. Vergleichbar ist dies mit der Aufgabe, die gleiche Zahl zu w\u00fcrfeln, die ein anderer W\u00fcrfel zuf\u00e4llig vorgibt, d. h. wie wahrscheinlich ist es, einen Pasch zu w\u00fcrfeln? Oder: Die Wahrscheinlichkeiten werden pro L\u00fccke multipliziert und dann addiert:<\/p>\n\n\n\n P(gl\u00fccklich raten) = \u2211(P(L\u00fccke)P(L\u00fccke)=\u2211L\u00fcckenbreite2<\/sup>\/Anzahl in Hitster enthaltenen Jahre2<\/sup> <\/p>\n\n\n\n Es gibt einen offensichtlich besseren Rateansatz: Immer die breiteste L\u00fccke nehmen. Dann gilt es nur noch die Wahrscheinlichkeit zu betrachten, wann ein Hit in dieser gr\u00f6\u00dften L\u00fccke liegt:<\/p>\n\n\n\n P(gr\u00f6\u00dfte L\u00fccke) = Breite der gr\u00f6\u00dften L\u00fccke \/ Anzahl in Hitster enthaltenen Jahre <\/p>\n\n\n\n Es l\u00e4sst sich einfach einsehen, dass P(gr\u00f6\u00dfte L\u00fccke) \u2265 P(gl\u00fccklich Raten) gilt.<\/p>\n\n\n\n Jetzt kann ein Hit aber auch ein schon zu einem offen liegenden Jahr geh\u00f6ren. Dann gelten beide zugeh\u00f6rigen L\u00fccken als richtiger Tipp, was im Grunde bedeutet, dass sich zwei L\u00fccken zu einer \u201eSuperl\u00fccke\u201c zusammenfassen lassen. <\/p>\n\n\n\n Sehr erfolgreiche Gruppen kommen irgendwann in die Situation, dass viele Jahre mit Hits belegt sind. Dann gibt es nur noch die Situation der Superl\u00fccke und es gibt etwa so viele L\u00fccken wie Jahre. Unter Vernachl\u00e4ssigung der R\u00e4nder ist dann die Chance f\u00fcrs Raten:<\/p>\n\n\n\n P(alles ist voll) = 2\/(infrage kommende Jahre)<\/p>\n\n\n\n Nun ist es bei Hitster so, dass Lieder immer in eine L\u00fccke zwischen zwei Jahren gelegt werden, das Ergebnis aber auch richtig ist, wenn der Hit einem den Rand bildendes Jahr entspricht. Bei fast allen \u00dcberlegungen ist dies egal oder ein unbedeutender Effekt, vereinzelt ist dies aber auch wesentlich, wie im eben diskutierten Fall. Im Weiteren diskutiere ich die R\u00e4nder nur, wenn es sich lohnt. Vielleicht haben Sie sich bei den bisherigen Abbildungen schon gewundert, ob alles mit rechten Dingen zugeht. Wenn Sie in Gedanken f\u00fcrs Raten jedes Jahr immer in eine „erste“ und „zweite“ H\u00e4lfte zerlegen, dann sollte beinahe ein gleiches Ergebnis herauskommen.<\/p>\n\n\n\n Zur\u00fcck zu unserer erfahrenen Gruppe, die sich mal bei einem Lied nicht so ganz sicher ist und es zum Beispiel nur auf 20 Jahre genau eingrenzen kann (\u201eNach 2000\u201c). Dann ist die Chance, die richtige L\u00fccke zu raten, gerade nur noch 2\/20 = 1\/10 oder 10 %. Deshalb wird es selbst f\u00fcr clevere Musizierende irgendwann knifflig. Damit ist es aber auch interessant zu wissen, wie schnell sich der Tisch mit unterschiedlichen Jahren f\u00fcllt. <\/p>\n\n\n\n Oder anders ausgedr\u00fcckt: Wie viele L\u00fccken L(n) gibt es, wenn n-Lieder ausliegen. Beide Zahlen sind wieder in etwa gleich. Nehmen wir zun\u00e4chst an, dass immer richtig geraten wird. Dann entwickelt sich bei einem festen Intervall B die L\u00fcckenzahl L(n) in n Jahren:<\/p>\n\n\n\n L(0) = 1,<\/p>\n\n\n\n L(1) = 1 + (B-1)\/B = 1 + (1 – 1\/B)<\/p>\n\n\n\n (denn nur mit einer Chance von 1\/B wird das ausliegende Jahr noch einmal ausgelegt)<\/p>\n\n\n\n L(2) = L(1) + (B-L(1))\/B = 1 + (1-1\/B) + (1-1\/B)2<\/sup> <\/p>\n\n\n\n …<\/p>\n\n\n\n L(n) = L(n-1) + (B-L(n-1))\/B<\/p>\n\n\n\n Die L\u00f6sung dieser Differenzengleichung ist<\/p>\n\n\n\n L(n) = \u2211i<\/sub> (1-1\/B)i<\/sup>. <\/p>\n\n\n\n Etwas fahrl\u00e4ssig l\u00e4sst sich (1-1\/B)i<\/sup> = 1-i\/B n\u00e4hern (f\u00fcr \u201ekleinere i“). Dann ist:<\/p>\n\n\n\n L(n) = n – n(n+1)\/(2B) (f\u00fcr nicht zu gro\u00dfe n).<\/p>\n\n\n\n Wenn n in die Gr\u00f6\u00dfenordnung von B kommt – erstaunlicherweise bricht dort die N\u00e4herung noch nicht vollst\u00e4ndig zusammen – ergibt sich f\u00fcr L\u00fcckenzahl:<\/p>\n\n\n\n L(B) = B-(B+1)\/2 = B\/2 – 1\/2. <\/p>\n\n\n\n Jedes zweite Jahr ist also nun schon besetzt. So gut die N\u00e4herung f\u00fcr die ersten Iterationen ist, so schlecht wird sie f\u00fcr das f\u00fcr den Highscore relevante Ende:<\/p>\n\n\n\n Und jetzt kommt der Clou: Mittels der L\u00fcckenzahl l\u00e4sst sich auch eine effektive mittlere L\u00fcckenbreite Bl(n) = B\/L(n) +1 definieren. (Da jedes ausliegende Lied f\u00fcr zwei L\u00fccken z\u00e4hlt, wird noch eine 1 addiert, was bei kleiner werdenden L\u00fccken relevant ist.)<\/p>\n\n\n\n Die Annahme ist dabei, dass alle L\u00fccken etwa gleich gro\u00df sind. Wenn jetzt eine Spielendengruppe eine typische Rateabweichung R hat \u2013 d. h. meistens liegt sie um h\u00f6chstens + oder – R Jahre daneben – dann r\u00e4t sie etwa mit<\/p>\n\n\n\n P = Bl(n)\/(2R) <\/p>\n\n\n\n die richtige L\u00fccke. Jetzt ist es an der Zeit, die Tokens zu betrachten. Nach f\u00fcnf Fehlern ist das Spiel schon beendet, da jeder Fehler einen Tokenverlust mit sich bringt. Doch es gibt Tokens zur\u00fcck, wenn Titel und Interpret richtig genannt werden. Wenn dies mit einer Quote Q gelingt, ver\u00e4ndern sich die Anzahl der Tokens mit:<\/p>\n\n\n\n T(n+1) = T(n) + QP -(1-P) = n(QP-(1-P))<\/p>\n\n\n\n Oder auch: \u0394T = T(n+1) – T(n) = -(1-P)+QP = (Q+1)P-1 <\/p>\n\n\n\n Wenn P sich nicht mehr gro\u00df \u00e4ndert, wird die Tokenabflussrate auch konstant.<\/p>\n\n\n\n Bei P = 1\/3 der Daumenregel \u00e4ndert sich T mit Q\/3 – 2\/3. Um also l\u00e4nger noch l\u00e4nger im Spiel zu bleiben m\u00fcssen bei mindestens zwei von drei Liedern Titel & Interpret richtig benannt werden.<\/p>\n\n\n\n Dies ist aber noch nicht das Ende der \u00dcberlegungen, denn die Entwicklung der L\u00fccken h\u00e4ngt auch von der Wahrscheinlichkeit P(n) ab, ein Lied richtig zuzuordnen. Aber nur wenn das neue Bild in eine L\u00fccke kommt:<\/p>\n\n\n\n Die Differenzengleichung wird dadurch leider etwas un\u00fcbersichtlich, da sie nun gekoppelt ist. P(n) h\u00e4ngt von L(n) ab und umgekehrt auch L(n) von P(n):<\/p>\n\n\n\n L(n) = L(n-1) + P(n)(B-L(n-1))\/B = P(n)+L(n-1)(1-P(n)\/B)<\/p>\n\n\n\n Zudem geht in P(n) nat\u00fcrlich die Rateabweichung R ein. Diese ersetze ich im Weiteren durch die Standabweichung der Normalverteilung. D. h.: R = 1 bedeutet, dass mit 67 % Wahrscheinlichkeit das Lied auf +\/-1 Jahre exakt geraten wird. Bei R=2 liegen 67 % innerhalb von +\/-2 Jahren etc.<\/p>\n\n\n\n Ein Ansatz ist damit:<\/p>\n\n\n\n P(n) = \u0278(Bl(n)\/(2R)) – \u0278(-Bl(n)\/(2R)) = 2\u0278(Bl(n)\/(2R)) – 1<\/p>\n\n\n\n (\u0278 ist die Verteilungsfunktion der Normalverteilung). <\/p>\n\n\n\n Dieser Ansatz ignoriert noch die Superl\u00fccken, die mit L(n)\/B im sp\u00e4teren Spielverlauf wahrscheinlicher werden. F\u00fcr diese gilt f\u00fcr die Breite der relevanten L\u00fccke 2B-1 und somit:<\/p>\n\n\n\n P(n) = (1-L(n)\/B)(2\u0278(Bl(n)\/(2R)) – 1)+(L(n)\/B)*(2*\u0278((2*Bl(n)-1)\/(2R)) – 1)<\/p>\n\n\n\n P(n) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Lied \u201einnerhalb\u201c der richtigen L\u00fccke geraten wird.<\/p>\n\n\n\n Ob die Annahme einer symmetrischen Normalverteilung wirklich sinnvoll ist, bezweifle ich etwas. Oft ist es m\u00f6glich, eine obere Grenze f\u00fcrs Erscheinungsjahr anzugeben (\u201edazu haben wir im Studium getanzt …\u201c). Mir f\u00e4llt aber momentan kein besserer Ansatz ein, der nicht deutlich mehr Parameter erfordert.<\/p>\n\n\n\n Jetzt fehlen nur noch die Siegpunkte, also die Gesamtzahl der richtig einsortierten Hits H(n). Die l\u00e4sst sich aber einfach konstruieren, da sie sich jede Runde mit der Wahrscheinlichkeit P(n) um 1 erh\u00f6ht:<\/p>\n\n\n\n H(n) = H(n-1) + P(n) = \u2211i<\/sub>P(i) <\/p>\n\n\n\n Damit ist ein Modell beinahe vollst\u00e4ndig, das die Entwicklung der Tokenzahl in Abh\u00e4ngigkeit einer Fehlerrate R und einer Lied-Interpret-Identifikations-Quote Q beschreibt:<\/p>\n\n\n\n P(n) = (1-L(n)\/B)(2\u0278(Bl(n)\/(2R)) – 1)+(L(n)\/B)*(2*\u0278((2*Bl(n)-1)\/(2R)) – 1)<\/p>\n\n\n\n Bl(n) = 1 + B\/L(n)<\/p>\n\n\n\n L(n) = P(n)+L(n-1)(1-P(n)\/B)<\/p>\n\n\n\n T(n) = n((Q+1)P(n)-1)<\/p>\n\n\n\n H(n) = H(n-1) + P(n)<\/p>\n\n\n\n Beim eingangs abgebildeten Spiel hatten wir am Ende 25 Hits aus 22 Jahren ausliegen und eine Breite von 66 Jahren. Etwa f\u00fcnf Songs konnten wir komplett richtig zuordnen, was einer Quote von etwa 1\u20444 sowie um die n=35 Iterationen entspricht. Damit spielte unsere Gruppe mit einer Standardabweichung von etwa 3,5 Jahren. Ich denke, dies sind sowohl plausible als auch typische Werte.<\/p>\n\n\n\n Die Modellrechnung passt erstaunlich gut zur realen Spiel – fast schon zu gut. Ich habe den Vergleich erst angestellt, nachdem das Modell stand.<\/p>\n\n\n\n Ergebnisse irgendwo zwischen 20 und 30 scheinen mit Blick auf die Ergebnisse von ein paar Modellrechnungen, regelm\u00e4\u00dfig gut erreichbar zu sein. Um 50 und mehr zu erreichen, braucht es nicht nur etwas mehr Gl\u00fcck, sondern auch Mitspielende, die sowohl die Quote als auch die Rategenauigkeit deutlich erh\u00f6hen. Um 100 und mehr Hits zu schaffen, ist wohl eine Quote deutlich \u00fcber 1\/2 und eine Standardabweichung von weniger als drei Jahren notwendig.<\/p>\n\n\n\n Oder die Gruppe einigt sich darauf, das Limit von maximal f\u00fcnf Tokens zu ignorieren. Dann ist es m\u00f6glich, in den ersten Runden einen gr\u00f6\u00dferen Vorrat an Tokens einzulagern und sp\u00e4ter davon zu zehren. <\/p>\n\n\n\n Frage an den Leser oder die Leserin, die bis hierher durchgehalten hat: Was sind eure Highscores und Erfahrungen? <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Wir haben schon ewig kein herausragendes Spiel mehr ausgezeichnet, auch weil wir eigentlich keine Pr\u00e4dikate mehr vergeben. Hitster verdient aber eine Ausnahme, denn seit knapp zwei Jahren d\u00fcsen wir von einer Hitsterrunde zur n\u00e4chsten. Wir lauschten den originalen Kl\u00e4ngen, groovten zu den Guilty Pleasures nach und summten zu den Summer Hits. Einmal wagten wir uns … <\/p>\n![\"\"](\"https:\/\/das-spielen.de\/wordpress\/wp-content\/uploads\/IMG_3414-scaled.jpeg\")
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Daumenregel: Wenn Hits auf +\/-5 genau eingeordnet werden k\u00f6nnen, ist die Chance, ein Lied richtig zu legen etwa 10% der mittleren L\u00fcckenbreite. Wenn also schon B Jahre besetzt sind, wird Bl(B) etwa 3 und damit P = 30% f\u00fcr R=5. <\/p>\n\n\n\n![\"\"](\"https:\/\/das-spielen.de\/wordpress\/wp-content\/uploads\/chart3-500x397.png\")
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